Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable.
Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.
Infinitos Números Primos.
Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente. El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos). Todo número natural admite una descomposición en producto de números primos.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
De dos números se define, como su propio nombre indica, como el divisor más grande que ambos números tienen en común. Si disponemos de la factorización de ambos números,
máximo común divisor
se obtiene quedándose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan
El mínimo común múltiplo,
Nuevamente como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común. Atendiendo a las descomposiciones de ambos números, el mínimo común múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.
El conjunto de los números naturales
Operaciones con números naturales
1 Los números naturales. El conjunto N. Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ... ...}Hay otros conjuntos de números más amplios. Seguramente conoces también los números decimales y los enteros, también hay otros más, que estudiarás en los cursos próximos.
2. Representación gráfica de números naturales. A los números naturales los representamos mediante puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la largura del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número. Coloca sobre la recta los puntos de abajo.
SUMA y RESTA DE NUMEROS NATURALES
Si tenemos dos grupos de elementos iguales y deseamos saber cuantos tenemos en total, lo que estaremos haciendo es unir los grupos y contar los elementos del conjunto unión. A esa operación se llama suma. Si de un conjunto de elementos retiramos algunos y deseamos saber cuantos quedan, lo que realizamos es una resta
DIVISIONES
ACTIVIDADES
Las actividades que vamos a realizar son de forma interactivas usando metodos que nos sirvan para resolver algunas actividades pero en este caso vamos a realizar operaciones sin el uso de calculadoras ,la tarea consiste en aplicar "Operaciones con números naturales"
ACTIVIDAD N°1
¡AL CERO EN CINCO PASOS!
Esta hoja presenta juego matemático que consiste en lo siguiente: Se trata de reducir a cero un número que esté entre cero y mil. Puedes hacer esto mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operación las veces que quieras. Las operaciones deben hacerse con el número que se da y otro número entero que tú elijas. El número que elijas debe ser uno de los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9. Puedes usar el número que elijas las veces que quieras. Cada operación que hagas se cuenta como un paso. El resultado de cada operación que hagas debe ser un número entero. Ganas el juego si, a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes números.
EJEMPLO:
REDUZCAMOS A CERO EL NÚMERO 869.
PASO 1: 869 -5 = 864
PASO 2: 864 / 9 = 96
PASO 3: 96 /8 = 12
PASO 4: 12 /6= 2
PASO 5: 2 - 2 = 0
ACTIVIDAD N°2
¡SE DESCOMPUSO LA TECLA PARA SUMAR!
¡La tecla para sumar se descompuso! El reto que presenta esta hoja de trabajo consiste en que "te las arregles" para realizar las siguientes sumas empleando la calculadora pero sin usar para nada la tecla para sumar. ¿Puedes la operación 438+725 sin usar la tecla para sumar y sin hacer ninguna suma mentalmente ni con lápiz y papel? Describe cómo lo hiciste _____________ __________________ Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un método distinto del tuyo? __________________ ¿En qué consiste? _________________________________________________________________ _______ ¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? ___________ ¿Por qué? _________________________________________________________ _______________________________ ¿Puedes hacer la operación 1536+489+39.83, sin usar la tecla para sumar y sin hacer la suma ni mentalmente ni empleando lápiz y papel?
Explica cómo lo hiciste, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. ___________________________________________________________ Encuentra los números que faltan. Escribe en cada espacio las operaciones que uses para obtener una solución.
487+x=798 y+1761+89=2346
7.4+z+125.97=784.88
ACTIVIDAD N°3
¡SE DESCOMPUSO LA TECLA PARA MULTIPLICAR!
¡La tecla para multiplicar se descompuso! El trabajo que harás en esta hoja se basa en un juego. El juego consiste en que encuentres una forma para multiplicar con la calculadora sin usar la tecla para multiplicar ni hacer ninguna multiplicación. ¿Puedes hacer la siguiente multiplicación sin usar la tecla para multiplicar y sin hacer ninguna multiplicación mentalmente ni con lápiz y papel? 84´ 37
Explica cual es el método que encontraste, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. _____________________________________________
______________________________________________________ Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un método distinto del tuyo? _____________ ¿En qué consiste ese otro método? ____ ______________________________________________________________________
¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? _______________ ¿Por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Puedes hacer la operación 95.8´ 36.5 sin usar la tecla para multiplicar y sin hacer la multiplicación mentalmente ni con lápiz y papel? _______ Explica cómo lo hiciste, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. ______________ ______________________________________________________________________ _______________________________________________ Encuentra los números que faltan. Escribe en cada espacio las operaciones que uses para obtener una solución.
48.7 ´ d=695.4e
´ 17.68=23.46 7048z = 1.45
ACTIVIDAD N°4
¡SE DESCOMPUSO LA TECLA DE LA RAÍZ CUADRADA!
1. Supongamos que la tecla de la raíz cuadrada se descompuso. ¿Qué podrías hacer, sin usar la tecla de la raíz cuadrada, para contestar las siguientes preguntas?
¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 25? _____________________________ ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 81? _____________________________ ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a la raíz cuadrada de 53? ________ ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a la raíz cuadrada de 75? ________ ¿Puedes encontrar una aproximación para la raíz cuadrada de 133 con un número entero y una cifra decimal? ¿Cuál es? _____________________________________ ¿Puedes encontrar una mejor aproximación para la raíz cuadrada de 133 con un número entero y una cifra decimal? ¿Cuál es? _______________________________ ¿Puedes encontrar una mejor aproximación que las que has obtenido para la raíz cuadrada de 133 con un número entero y dos cifras decimal? ¿Cuál es? ____________________________________________________________________ 2. Podemos tener una aproximación a un número "por abajo" o "por arriba".
Por ejemplo,
6.7 es una aproximación "por abajo" para el número 7, y 7.1 es una aproximación "por arriba".
Observa
Que 7.1 es una mejor aproximación que 6.7, porque 7.1- 7=0.1, mientras que 7- 6.7=0.3. es decir, 7.1 está "más cerca" del 7 que 6.7. ¿Puedes encontrar una mejor aproximación "por arriba? ______________________________ ¿Cuál es? _________ Sin usar la tecla de la raíz cuadrada encuentra la mejor aproximación "por abajo", con un número entero y una cifra decimal, para la raíz cuadrada del número 72. ¿Cuál es esa aproximación? ___________________
Explica qué es lo que te permite afirmar que la aproximación que encontraste es la mejor aproximación "por abajo" con una cifra decimal para la raíz cuadrada de 72. _____________
ACTIVIDAD N°5
VALOR POSICIONAL
Escribe en la calculadora el número 796182453. Supongamos que los nueve dígitos que forman ese número son "invasores espaciales". Para salvar al planeta debes "eliminarlos" uno por uno convirtiéndolos en cero haciendo una sola operación con el número 796182453 y otro número que tú propongas. Por ejemplo, eliminar al "1" quiere decir que hagas una operación para que el número 796182453 cambie a 796082453. Después de que elimines al 1 debes eliminar al 2, luego el 3, y así sucesivamente.
TRABAJO FINAL
Los alumnos de Septimo año invitan a estudiantes de otros cursos y padres a la exposición de trabajos realizados por ellos en Power Point y páginas Web, las presentaciopnes seran de forma interactiva, a fin de cumplir con los objetivos previstos que se propuso en este proyecto respecto del área Matemática. Como una manera de ver a las ciencias duras como se aplican en la vida diaria y de una manera fácil de asimilar.
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